Por que a IA está resolvendo problemas de matemática abertos há décadas

Um padrão comum liga o contraexemplo de Erdős achado pela OpenAI, a prova de Navier-Stokes e o trabalho da Anthropic em Fermat: onde a árvore de busca é rasa, a IA já ganha dos humanos.

Em maio de 2026, um modelo interno da OpenAI encontrou um contraexemplo para a conjectura da distância unitária de Erdős, um problema em aberto desde 1946. Um mês depois, em junho, a empresa publicou uma prova do problema da cobertura dupla de ciclos (o Cycle Double Cover, ou CDC) e, até julho, soluções para outros dez problemas abertos. Em setembro veio uma prova para as equações de Navier-Stokes. No mesmo período, a Anthropic publicou uma formalização do Último Teorema de Fermat e avanços em limites da hipótese de Riemann.

São anúncios das próprias empresas, não validações independentes ponto a ponto feitas pela comunidade matemática. Mas pelo menos um caso, o contraexemplo de distância unitária, já recebeu comentário técnico detalhado do matemático William Timothy Gowers, medalhista Fields, o que dá material concreto para entender o raciocínio por trás da solução. É esse comentário, lido junto com os outros casos, que revela um padrão. O pesquisador Ankit Maloo mapeou esse padrão num ensaio publicado no Latent Space em 23 de outubro, e é dele que vem a análise a seguir.

Cada prova é uma cadeia de insights intercalada com trabalho

Gowers propõe um jeito simples de pensar a dificuldade de um problema: uma sequência de insights (ele chama de dicas, ou hints), com trabalho entre cada um até o próximo ficar possível. Ele batiza isso de complexidade de Kolmogorov módulo especialistas: a dificuldade é o tamanho da menor sequência de dicas que permitiria a um especialista reconstruir a prova. Para a distância unitária, essa sequência tinha três passos: procurar um contraexemplo em vez de uma prova, generalizar a melhor construção conhecida e, só então, testar corpos numéricos de grau crescente com ideais primos de norma limitada.

Gowers propôs uma fórmula para isso, 2^k + t, onde k é o número de dicas necessárias e t é o trabalho entre elas. A fórmula não serve para calcular nada com precisão, mas captura algo real: complexidade cresce de forma exponencial com o número de saltos conceituais exigidos, não com o tamanho do problema em si. Um especialista precisa de menos dicas que um iniciante porque já carrega conhecimento de fundo.

Humanos exploram em largura, os modelos exploram em profundidade

Um pesquisador humano gera várias direções possíveis, explora cada uma superficialmente e abandona a maioria cedo, porque seguir uma ideia até o fim pode custar meses de trabalho. Esse é um padrão de busca em largura: a pessoa só compromete tempo de verdade com uma direção depois de ter razões para acreditar nela.

Um modelo de linguagem funciona ao contrário. Dado um prompt, ele persegue uma linha de raciocínio até o fim, certa ou errada, num padrão de busca em profundidade. Rodar vários agentes em paralelo, o que a área chama de computação paralela em tempo de inferência, não muda isso: dez agentes produzem dez tentativas completas, não dez ideias exploradas pela metade. Sozinho, isso geraria apenas provas falsas bonitas e convincentes.

O verificador automático é o que torna rentável gastar computação às cegas

A peça que muda o cálculo é um verificador automatizado, capaz de checar se um argumento terminado está correto. Com ele, faz sentido econômico deixar o modelo perseguir ideias de qualidade duvidosa, porque descobrir se uma ideia funciona custa minutos, não meses. Para um humano, a barra de qualidade de uma dica precisa ser alta, já que testá-la é caro. Para um modelo com verificador, a barra quase desaparece.

O limite é que o verificador só julga argumentos terminados. Ele não diz se uma ideia pela metade está indo a algum lugar, e isso reproduz um fenômeno já conhecido em psicologia: os pesquisadores Metcalfe e Wiebe mediram, a cada quinze segundos, o quanto os participantes sentiam estar perto de resolver um problema. Em problemas comuns, a sensação de progresso crescia aos poucos. Em problemas de insight, ela ficava achatada até a solução aparecer de repente, sem gradiente perceptível no meio do caminho.

A arquitetura por trás das provas: redator, solucionador e verificador

Os sistemas usados pela OpenAI e pela Anthropic seguem um padrão de três papéis que qualquer time construindo agentes de raciocínio pode reconhecer:

• Redator (drafter): escreve os prompts para o modelo solucionador, incorporando o que já se sabe do problema e, principalmente, todos os caminhos promissores que já falharam (as dicas negativas).
• Solucionador (solver): recebe o prompt e gera uma ou várias soluções candidatas, podendo rodar subagentes em paralelo.
• Verificador (checker): confere se o argumento é válido e de fato resolve o problema proposto.

O prompt usado no problema CDC, reconstruído no ensaio de Maloo a partir do material publicado pela OpenAI, mostra como isso funciona na prática:

Assume for purposes of this task that a complete affirmative proof exists.

Proofs for special graph classes, constructions of cycle covers with some
edges covered other than twice, bounded-length or prescribed-cycle
variants, reductions to another unproved conjecture, computational
verification through any fixed graph size, and candidate counterexamples
without a complete nonexistence certificate are insufficient.

Use adversarial agents throughout: every candidate proof must be checked
for exact-two multiplicity, repeated-edge closed trails masquerading as
cycles, parallel-edge 2-cycles, disconnected graphs, cutvertices, bridges
introduced by reductions, and circular use of an equivalent CDC statement.

Do not return merely because current approaches fail or agents report
theorem-strength gaps.

Cada linha ataca um erro específico que apareceu em rodadas anteriores. A primeira impede o modelo de tratar o status de problema aberto, aprendido no pré-treinamento, como motivo para desistir. A segunda lista exaustivamente os jeitos de fingir que resolveu sem resolver. A terceira transforma os modos de falha já catalogados em verificações padrão para toda prova candidata. A última é uma instrução direta contra a preguiça aprendida: não parar só porque as abordagens atuais falharam. Para quem monta pipelines de agentes, isso é prompt engineering no sentido mais literal: documentar fracassos como instrução para a próxima rodada, em vez de descartá-los.

O fator de ramificação decide até onde a IA alcança hoje

Gowers aponta que sua fórmula ignora um fator: quantas dicas plausíveis existem em cada passo, o fator de ramificação (b). Com b dicas plausíveis por passo e k passos no total, o número de caminhos possíveis cresce como b elevado a k. Humanos usam intuição e experiência para manter esse b pequeno na prática, descartando a maioria dos ramos por instinto antes mesmo de testá-los.

Um modelo, sem esse instinto, precisa perseguir quase todo ramo plausível, mas consegue fazer isso rápido e em paralelo. Isso prevê onde a IA tende a funcionar bem: problemas em que b elevado a k, multiplicado pelo custo computacional, é pequeno. É por isso que cibersegurança caiu primeiro para sistemas agentic, segundo o ensaio: o fator de ramificação em cada passo intermediário de um ataque ou defesa costuma ficar entre 1 e 2, mesmo exigindo muita habilidade técnica. Já um problema de pesquisa aberto, com dezenas de direções plausíveis em cada ponto, mantém b alto demais para força bruta.

O preço do raciocínio em escala: 10 mil agentes rodando 88 horas

A prova de Navier-Stokes, segundo a leitura de Maloo do material publicado pela OpenAI, tem 166 páginas e essencialmente completa um programa de trabalho já avançado pelos matemáticos Córdoba e Martínez-Zoroa, sem muitos saltos conceituais novos. O custo para chegar lá foi de 10 mil agentes rodando em paralelo, consumindo um total de 300 bilhões de tokens ao longo de 88 horas.

O ensaio não converte isso em dólares, e não há preço por token divulgado para esse processo interno específico, então qualquer conta de custo aqui seria invenção. Mas a ordem de grandeza já diz algo importante: resolver um problema com k baixo (poucos saltos conceituais necessários) ainda pode consumir um volume de computação gigantesco quando o trabalho mecânico entre os saltos é longo. Compute substitui tempo de pesquisador, mas não é de graça.

Onde o julgamento humano ainda pesa mais que a força bruta

O matemático Jacob Tsimerman, recentemente contratado pela OpenAI, havia trabalhado na mesma conjectura de distância unitária antes do modelo resolvê-la. Ele conhecia a teoria dos números, chegou a considerar graus crescentes, e parou. Não por falta de capacidade técnica, mas pelo desgaste real de semanas sem nenhum sinal de que o caminho levava a algum lugar.

É uma dinâmica assustadora, difícil de pensar nos regimes analíticos e manter a intuição orientadora, consome muito tempo e frequentemente não dá certo.

A very scary dynamic, hard to think through the analytic regimes and retain guiding intuition, consumes much time and frequently doesn't work out.Jacob Tsimerman, matemático na OpenAI

Gowers concorda que a vantagem humana sobrevive em outro lugar: onde a árvore de busca é profunda e muito ramificada ao mesmo tempo.

Onde a árvore de busca é profunda e tem uma grande quantidade de ramificação, de modo que, sem uma poda rigorosa, uma busca não é viável nem para um computador.

where the search tree is deep and has a large amount of branching, so that without rigorous pruning a search is not feasible even for a computer.William Timothy Gowers, matemático, medalhista Fields

Para quem decide onde apontar um sistema de agentes com raciocínio hoje, isso vira um critério prático de escopo, não uma regra genérica. Antes de montar um harness com redator, solucionador e verificador para um problema de engenharia complexo, vale perguntar quantos saltos conceituais o problema provavelmente exige e quantas direções plausíveis existem em cada etapa.

Tarefas com fator de ramificação baixo e verificação automática barata (testes que passam ou falham, exploits que funcionam ou não, provas que fecham ou não) são onde computação em paralelo já compra resultado. Problemas com muitos saltos e muitos ramos plausíveis continuam exigindo que alguém decida, com julgamento, qual caminho vale três meses de trabalho, seja esse alguém um matemático ou um arquiteto de sistema escolhendo que parte do produto vale automatizar primeiro.

Fonte: Latent Space